sin2x Công thức lượng giác

Công thức nhân đôi: sin 2x

Công thức nhân đôi
A. Công thức sin 2x
B. Hàm số y = sin 2x
- 1. Tập xác định của hàm số y = sin 2x
- 2. Tập giá trị của y = sin 2x
- 3. Tính chẵn lẻ của hàm số y = sin 2x
- 4. Chu kì tuần hoàn của hàm số y = sin 2x
C. Đồ thị hàm số y = sin 2x
D. Đạo hàm sin 2x
E. Nguyên hàm sin 2x
F. Phương trình lượng giác

Công thức lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác 10, 11 và lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề lượng giác. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Công thức nhân đôi

A. Công thức sin 2x

Ví dụ: Biến đổi A = 1 + sin 2x thành tích

Hướng dẫn giải

A = 1 + sin 2x

A = sin²x + cos²x + 2sinxcosx

A = (sin x + cos x)²

A = (sin x + cos x)(sin x + cos x)

Ví dụ: Biến đổi thành tích: 1 + sin 2x - cos 2x - tan 2x

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 + sin 2x - cos 2x - tan 2x

= 1 + sin 2x - cos 2x - sin 2x/cos 2x

= [cos 2x (1 + sin 2x) - cos²2x - sin 2x]/cos 2x

= [sin2x(cos 2x - 1) - cos²2x + cos 2x]/cos 2x

= [sin2x(cos 2x - 1) - cos 2x(cos 2x - 1)]/cos 2x

Ví dụ: Biến đổi thành tích: sin x - sin 2x + sin 3x

Hướng dẫn giải

Ta có: Sin x - sin 2x + sin 3x

= sin x - 2 sinx . cosx + 3 sin x - 4 sin³x

= - 4 sin³x + 4 sin x - 2 sinx . cosx

= 2 sinx . (- 2 sin²x + 2 - cosx)

= 2 sinx .(- 2 sin²x + 2 sin²x + 2 cos²x - cos x)

= 2 sin x . (2 cos²x - cos x)

= 2 sin x . cosx . (2 cos x - 1)

= sin2x . (2 cos x - 1)

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$

b) sinx . (1 + cos2x) = sin2x . cosx

c) $\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = - \frac{2}{{\tan 2x}}$

d) $\tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = \tan x$

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi vế trái ta có:

${\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right)$

$= \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2} - \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)}}{2}$

$= \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2}$

$= \frac{{ - 2\sin \frac{\pi }{4}.\sin \left( { - 2x} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin 2x = VP$

=> Điều phải chứng minh

b) Biến đổi vế trái ta có:

sinx . (1 + cos2x)

= 2 sinx . cosx . cosx

= sin2x . cosx = VP

=> Điều phải chứng minh

c) Biến đổi vế trái ta có:

$\tan x - \frac{1}{{\tan x}}$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$

$= \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}$

$= \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = \frac{{ - 2}}{{\tan 2x}} = VP$

=> Điều phải chứng minh

d) Biến đổi vế trái ta có:

$\tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right)$

$= \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}.\frac{{1 + \cos x}}{{2\cos x}}$

$= \frac{{\sin \frac{x}{2}.2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\cos \frac{x}{2}.\cos x}}$

$= 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}.\frac{1}{{\cos x}} = \tan x = VP$

=> Điều phải chứng minh

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

c) $B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

d) $D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $\cos \frac{x}{2} \ne 0$

$A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

$A = \frac{{1 + \sin x - \left[ {1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

$A = \frac{{\sin x - \sin x}}{{4.\cos \frac{x}{2}}} = 0$

b) Ta có:

Điều kiện: cos 2x . sin 2x ≠ 0

$B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

$B = \frac{{\cos x.\sin x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

$B = \frac{{\cos x.\sin x.\cos 2x}}{{\sin 2x.\cos 2x}} = \frac{1}{2}$

c) Ta có:

Điều kiện: (1 + cos4x) (1 + cos2x) ≠ 0

$C = \frac{{\sin 4x.\cos 2x}}{{\left( {1 + \cos 4x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}}$

$C = \frac{{2.\sin 2x\cos 2x.\cos 2x}}{{2{{\cos }^2}2x.{{\cos }^2}x}}$

$C = \frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x}}$

$C = \frac{{2.\cos x\sin x}}{{2{{\cos }^2}x}} = \tan x$

d) Ta có:

$D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}$

$D = \frac{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\sin }^2}x}}{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}$

$D = \frac{{{{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)}} = \frac{{ - {{\sin }^4}x}}{{ - {{\cos }^4}x}} = {\tan ^4}x$

B. Hàm số y = sin 2x

1. Tập xác định của hàm số y = sin 2x

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

2. Tập giá trị của y = sin 2x

-1 ≤ sin 2x ≤ 1

=> Giá trị lớn nhất của y = sin 2x bằng 1

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2x bằng -1

3. Tính chẵn lẻ của hàm số y = sin 2x

Với x ∈ D => - x ∈ D ta có:

y = sin 2x

y(- x) = sin(- 2x) = - sin 2x

=> y(x) = - y(- x)

=> Hàm số là hàm số lẻ

Vậy hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ

4. Chu kì tuần hoàn của hàm số y = sin 2x

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì T = π

Công thức mở rộng:

Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$

C. Đồ thị hàm số y = sin 2x

sin2x

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right);\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. Đạo hàm sin 2x

y = sin 2x

=> y’ = (sin 2x)’

=> y’ = (2x)’ . [cos2x]

=> y’ = 2 . cos (2x)

Vậy đạo hàm của y = sin 2x là y’ = 2 cos (2x)

E. Nguyên hàm sin 2x

$\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd\left( {2x} \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} }$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số y = sin2x là $\int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C}$

F. Phương trình lượng giác

sin 2x + cos 2x = 1
Sin 2x + cos 2x = 0
Cos x = 0
Tan x = 0
Sin x = cos x