Cho  ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC.

Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho D là trung điểm của cạnh EF.

a) Chứng minh tứ giác BFCE là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác BFEA là hình chữ nhật.

c) Gọi K là điểm đối xứng với F qua E. Chứng minh tứ giác AFCK là hình thoi.

d) Vẽ AH ⊥ BC tại H. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh FM ⊥ AM.

a) Tứ giác BFCE có 2 đường chéo BC và FE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên BFCE là hình bình hành.

b) BFCE là hình bình hành và E là trung điểm AC nên: $\left\{\begin{array}{l}BF=EC=AE\\ BF\parallel EC\parallel AE\end{array}\right.$

Suy ra BFEA là hình bình hành.

Mà tam giác ABC vuông ở A nên BFEA là hình chữ nhật

c) DE là đường trung bình trong tam giác ABC nên $\left\{\begin{array}{l}DE//AB\\ AB\perp AC\end{array}\right.$ Suy ra: DE ⊥ AC.

K đối xứng với F qua E hay E là trung điểm của FK

Tứ giác FAKC có 2 đường chéo FK và AC vuông góc và cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AFCK là hình thoi.

d) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo BE và AF trong hình chữ nhật BFEA

Suy ra I là trung điểm BE và AF và BE = FA

ME là đường trung bình của tam giác AHC nên ME // AH ⇒ ME ⊥ AH

Tam giác BME vuông tại M có trung tuyến MI nên MI = $\frac{1}{2}$ BE = $\frac{1}{2}$ FA

Tam giác FAM có trung tuyến MI thỏa mãn MI = $\frac{1}{2}$ FA nên tam giác FAM vuông tại M

Hay FM ⊥ AM.